پویان خامه چی - سیستان و بلوچستان، ایرانشهر دانشگاه ولآیت، گروه ریاضی
لیلا نوری - سیستان و بلوچستان ،زاهدان، دانشگاه سیستان و بلوچستان دانشکده ریاضی

حلقه های مرتبط چپ (راست) حلقه هایی هستند که روی آنها حاصل ضرب مستقیم مدول های راست (چپ) هموار، هموار است. این گونه حلقه ها توسط چیز در سال ۱۹۶۰ توصیف شدند. چیز ثابت کرد که حلقه R مرتبط چپ است اگر و تنها اگر برای هر مجموعه ناتهی RR I هموار باشد. با توجه به این مطلب، مسأله یافتن شرایطی که تحت آن خواص مختلف همواری سیستمها روی تکوارهها تحت حاصل ضرب مستقیم حفظ شود، توسط تعدادی از نویسندگان مورد بررسی قرار گرفته که به برخی از آنها اشاره می کنیم. در سال ۱۹۹۱ بولمن - فلمینگ در [۱] شرایطی را روی تکواره S ارائه نمود که تحت آن شرایط برای هر مجموعه ناتهی I، تمام سیستمهای راست S (شامل همه نگاشتها از مجموعه I به تکواره S که در واقع حاصل ضرب یک گردایه ناتهی از سیستم راست SS است) تصویری باشند (یا به طور معادل حاصل ضرب تمام سیستمهای راست تصویری، تصویری باشند). تقریباً در همان زمان، ویکتوریا گلد در [۴] مسأله متناظر برای همواری قوی و تلویحاً برای شرط های (P) و (E) را حل نمود. در سال ۲۰۰۹ صداقت جو و همکارانش تکواره های به طور (اساسی) ضعیف مرتبط چپ (تکوارههایی که حاصل ضرب مستقیم هر گردایه ناتهی از S - سیستم های راست به طور (اساسی) ضعیف هموار روی آنها، به طور (اساسی) ضعیف هموار هستند) را توصیف نمودند. آنها همچنین تکواره هایی را بررسی نمودند که خواص همواری از حاصل ضرب مستقیم سیستم های روی آنها به مولفه های آنها منتقل می شود. به دنبال تحقیقات فوق الذکر، برای تکواره S در حالت کلی شرایطی را بررسی می کنیم که تحت آن خواصی مانند بدون تابی، GP-همواری، به طور اساسی ضعیف همواری از حاصل ضرب S-سیستمها به مولفه های آنها منتقل می شود.

حاصل ضرب S-سیستمها، بدون تابی، GP-همواری، به طور اساسی ضعیف همواری