خواص مشترک برخی زیرحلقه های \mathbb{R}^X

رای فضای توپولوژی ناتهی X، محموعه تمام توابع حقیقی-مقدار روی X با نماد F(X) نشان داده می شود که با عمل جمع و ضرب نقطه به نقطه، حلقه ای تعویض پذیر است. اعضای پیوسته F(X) را با C(X) نشان می دهیم. B_۱(X) مجموعه تمام حدود نقطه به نقطه دنباله توابع در C(X) را نشان می دهد که یک زیرحلقه F(X) است. نشان داده شده است که جمع دو z-ایدآل در B_۱(X) یک z-ایدآل است و ایدآل I در B_۱(X) یک z-ایدآل است اگر و تنها اگر \sqrt{I} یک z-ایدآل در B_۱(X) باشد. برای هر f\in F(X)، f^{-۱}(۰) را با Z(f) نشان داده و آن را یک صفر-محموعه می گویند. اگر A(X) یک زیرحلقه F(X) باشد، \emptyset \neq B\subseteq A(X) و S=\bigcup_{b\in B}(X\setminus Z(b))، آن گاه ثابت شده است که همریختی حلقه \phi:A(X) \to A(S) وجود دارد به طوری که \phi= Ann(B) \lr{ker}. ایدآل I در A(X) را مطلقا محدب گوییم هرگاه از f\in A(X),~g\in I و |f|\leq |g| نتیجه شود f\in I. برخی زیرحلقه های F(X) که هر ایدآل اول آن مطلقا محدب باشد بررسی شده است. ایدآل سره I از A(X) را ایدآلی شبه ثابت می نامند هرگاه گردآیه \{ cl_XZ(f) | f\in I \} دارای اشتراک ناتهی باشد. مشخصه سازی ها یی از ایدآل های شبه ثابت در برخی زیرحلقه های F(X) داده شده است. نشان داده شده است که اگر X همبند باشد، I ایدآلی آزاد در C(X) باشد و p\in X، آن گاه ایدآل ناصفر J که مشمول در I است وجود دارد به طوری که p\in \cap Z[J]. زیرحلقه A(X) از F(X) مورد مطالعه قرار گرفته است که هر f\in A(X) با شرط Z(f)=\emptyset دارای وارون ضربی در A(X) باشد. زیرحلقه A(X) از F(X) مورد پژوهش قرار گرفته است که برای هر g\in C(\mathbb{R}) و هر f\in A(X) داشته باشیم g\circ f \in A(X). یک تابعگون پادوردا از رسته ی تمام فضاهای توپولوژی و نگاشت های پیوسته بین آنها بتوی رسته ی حلقه های تعویض پذیر یکدار و همریختی های حافظ عضو همانی ضربی بین آنها برقرار خواهد شد.