P-فضاها و ویژگی آرتین ریس

در این مقاله ویژگی آرتین­ ریس را در حلقه ­ی C(X) ، در حلقه ­ی کسرهای C(X) و حلقه­ های خارج قسمتی  C(X) مورد مطالعه قرار می­دهیم. نشان می­دهیم  یک حلقه ی C(X)/(f)آرتین­ ریس است اگر و تنها اگر Z(f) یک P­ فضای باز باشد . در این مقاله نشان داده شده است که X  یک p ­ فضا است اگر و تنها اگر C(X) دارای یک ایدآل ماکسیمال آرتین­ ریس باشد. ثابت کرده ­ایم که یک شرط لازم و کافی برای آن­که حلقه های موضعی  آرتین­ ریس C(X) باشند این است که هر ایدآل اول C(X) مینیمال باشد و از آن­جا معلوم می­شود که هر حلقه ی موضعی C(X) یک حلقه ی آرتین­ ریس است اگر و تنها اگر X یک p ­ فضا باشد. سرانجام نشان داده ایم که اگر XZ(f) در X یک C­ نشانده ی چگال باشد، آن گاه C(X)f  منظم است اگر و تنها اگر XZ(f) یک p ­ فضا باشد .