کلی ترین حالت حل معادله لاپلاس به روش تفاضلات محدود و مقایسه سه روش حل ژاکوبی، گوس- سایدل و واهلش

[توضیح سیویلیکا: فرمولها در متن مقاله به درستی نمایش داده نمی شوند.] معادله لاپلاس برای توضیح بسیاری از شرایط فیزیکی در حال تعادل از جمله توزیع حرارت در جامدات، الکترواستاتیک، جریان های دو بعدی غیر چرخشی و حرکت آب های زیرزمینی کاربرد دارد. در اکثر تحقیقات، حل معادله دو بعدی لاپلاس با روش تفاضلات محدود و در حالت ساده شده ( x y) ارائه شده است. در این تحقیق ابتدا با بسط سری تیلور، کلی ترین حالت حل به روش تفاضلات محدود که درآن x y بوده، استخراج و سپس مثالی از کاربرد آن در حرکت آب زیرزمینی و با در نظر گرفتن شرایط مرزی ارائه می گردد. برای حل این مثال، کدی به زبان فرترن نوشته شده که هدف از آن نشان دادن شیوه حل دستگاه معادلات به روش تفاضلات محدود و البته با لحاظ نمودن شرایط مرزی و نیز تعیین تعداد تکرارها جهت رسیدن به دقت مورد نظر می باشد. برای این کار از سه روش حل عددی ژاکوبی، گوس- سایدل و واهلش (به همراه تعیین مقدار بهینه ضریب واهلش) استفاده گردیده است. هدف دیگر مقاله تعیین مقدار بهینه ضریب واهلش از نظر حداقل تکرار برای رسیدن به جواب است. نتایج نشان می دهند که سه روش مذکور به ترتیب ضعیف ترین تا توانا ترین روش حل به لحاظ تعداد تکرارها بوده ومقدار بهینه ضریب واهلش با حداقل تکرار برابر 1/3 می باشد. نتایج این پژوهش می تواند برای برنامه نویسان رایانه ای جهت استفاده بهینه از زمان محاسبات و حافظه رایانه کمک نماید.